logika

RINGKASAN MATERI

LOGIKA MATEMATIKA

 

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

STKIP PGRI BANJARMASIN TAHUN AJARAN 2011/201

LOGIKA MATEMATIKA

RINGKASAN MATERI

      Dalam percakapan sehari-sehari,kata logika berarti “menurut akal”berarti dapat diterima menurut akal kita.Sedangkan menurut istilah,Logika berarti suatu metode atau teknik yang digunakan untuk meneliti ketepatan penalaran.Ketepatan penelaran adalah kemampuan untuk menarik kesimpulan yang tepat dari bukti-bukti yang ada.

A. PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA

Dalam logika matematika hanya akan dipelajari kalimat yang mempunyai arti saja,yaitu sebagai berikut

1.     Kalimat pernyataan

2.     Kalimat bukan pernyataan

3.     Kalimat terbuka

1.    Pernyataan

Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.Proposisi yang berdasarkan observasi (data)empiric disebut proposisi empiric,sedangkan proposisi yang kebenarannya langsung diterima oleh pikiran kita disebut proposisi.

Contoh:

a.  Tingkat kelulusan siswa(i) meningkat hingga mencapai 99% ditahun 2010/2011 ( Proposisi empiric)

b.  Jakarta adalah ibu kota Republik Indonesia ( Proposisi mutlak )

c.   Mari kita beramal mumpung masih hidup ( bukan pernyataan )

2.     Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang tidak dapat dinyatakan bernilai benar atau salah karena masih mengandung variable (peubah) dan apabila variabel (peubah) diganti dengan konstan tertentu maka akan menjadi pernyataan.

Contoh:

a.  Pulau P merupakan daerah pariwisata

b.  5 + 2x =19

B. SISTEM LAMBANG LOGIKA PROPOSISIONAL

Pernyataan yang menyatakan pikiran tunggal disebut pernyataan sederhana,sedangkan pernyataan yang terdiri dari beberapa pernyataan sederhana dengan berbagai macam penghubung disebut pernyataan majemuk.

Lambang yang digunakan dalam logika yaitu :

1.     Huruf p,q,r,…untuk menyatakan pernyataan

2.     B,T atau 1 (B=benar,T=true)

3.     S,F atau 0 (S=salah,F=false)

Contoh:        

1.     Proposisi tunggal

p = Rina anak yang pandai

q = Rina kuliah di UGM

2.     Proposisi majemuk

p atau q= Rina anak yang pandai atau Rina kulia di UGM

p dan q = Rina anak pandai dan Rina kuliah di UGM

Ada lima operator proposional,yaitu

NO	Operator		Arti Lambang
	Nama	Lambang
1. 2. 3. 4. 5.	Negasi Konjungsi Disjungsi Implikasi/Kondisi Biimplikasi	- ^ V	Tidak,bukan Dan,tetapi,meskipun,walaupun Atau Jika,,,maka Jika dan hanya jika

C.     INGKARAN ATAU NEGASI SUATU PERNYATAAN

Jika suatu pernyataan P benar,maka negasinya –p salah,sebaliknya jika pernyataan p salah,maka negasinya –p “benar”.

P	-P
B S	S B

  Contoh:

  p   = Rizki gadis yang cantik

-p  = Tidak benar bahwa Rini gadis yang cantik

-P = Rizki bukan gadis yang cantik

D. NILAI KEBENARAN DISJUNGSI,KONJUNGSI,IMPLIKASI,DAN BIIMPLIKASI

1. DISJUNGSI

Disjungsi merupakan pernyataan majemuk dalam logika matematika yang menggunakan kata hubung “atau”dan diberi “V”.Jika p adalah pernyataan dan q adalah pernyataan ,maka disjungsi p dan q adalah pernyataan majemuk,”p atau p”dan diberi notasi “p v q”. Perhatikan contoh proposisi berikut : Rizki membeli buku atau pensil.Disjungsi tersebut dapat diartikan sebagai :

v Disjungsi inklusif

Yaitu menyatakan komponen yang lain dapat bernilai benar dan dapat juga salah.

Nilai kebenaran disjungsi inklusif.

 

P	Q	PVQ
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

                        Contoh Kalimat : Rizki tidak hanya membeli  satu,akan tetapi mungkin membeli keduanya.Artinya,tidak hanya salah satu mesti benar,akan tetapi mungkin keduanya benar.

v Disjungsi Eksklusif

Yaitu menyatakan komponen lain pasti salah.

Nilai kebenaran disjungsi eksklusif

P	Q	P v­­ q = ( pv q )^ (-p v –q)
B	B	S	B	S	S
B	S	B	B	B	B
S	B	B	B	B	B
S	S	S	S	S	B

Contoh kalimat : Rizki membeli buku dan tidak membeli pensil,atau ia tidak membeli buku, tetapi ia membeli pensil.

2.Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan yang menggunakan kata hubung “dan” dan diberi notasi “^”(p ^ q ).

Tabel kebenaran   

P	Q	p^q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Contoh :

p  = 6x2=12                                                                                      (B)

q  = 2 adalah factor dari 12                                                         (B)

p^ q =6x2=12 dan 2 adalah factor dari 12                             (B)

3.    Implikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk dalam logika matematika yang menggunakan kata bersyarat, yaitu “ jika … maka…”. Diketahui p dan q adalah pernyataan majemuk dan dinotasikan “p =>q”. P ernyatan p disebut dengan anteseden ( sebab) dan q disebut konsekuen( akibat )

 

                       

Tabel Kebenaran:

P	Q	P=>q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Contoh:

p:           ia seorang anggota polri                                                                        

q:           ia seorang ABRI                                                                              

p=>q : jika ia seorag anggota polri maka ia seorang ABRI

4.    BIIMPLIKASI

Biimplikasi adalah pernyatanan majemuk yang berbentuk “p dan hanya q” dan diberi notasi “póq”. Pernyataan ini disebut juga  implikasi dua arah.

p	Q	qóq
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Untuk menetukan kebenaran nilai biimplikasi dapat digunakan tabel kebenaran dengan meninjau : póq = ( p => q ) ^ q => p )

p	Q	P ó q	P ó q	q=>p	(p=>q)^(q=>p)
B B S S	B S B S	B S S B	B S B B	B B S B	B S S B

Contoh:

p:          Rani anak yang pandai

q:          Rani rajin belajar

póq :  Rani anak yang pandai jika dan hanya jika dia raji belajar

E .PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN

Yakni dua pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama.Pernyataan majemuk berbentuk implikasi atau biimplikasi yang tautology disebut implikasi logis atau biimplikasi logis (ekuivalensi logis).Sebuah pernyataan majemuk dikatakan tautology jika nilai kebenarannya selalu benar, sebaliknya jika nilai kebenarannya selalu salah disebut Kontradiksi.Sedangkan pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya tidak selalu benar dan tidak selalu salah,dengan kata lain tidak tautology dan tidak kontradiksi disebut kontingensi.

Berikut table kebenaran:

Contoh: p ó q = ( p=> q)^( q=>p)

P	Q	P=>q	q=>p	(p=>q)^(q=>p)	Póq
B B S S	B S B S	B S B B	B B S B	B S S B	B S S B

Pernyataan yang ekuivalen

	–(p)      =p                                5. p→q                                    =-q→-p –(p^q)  =-pv-q                          6.p^q                           =q^p p→q    =-pvq                           7.pvq                           =q v p –(p→q)            =p^-q               8. –(p v q)                    = -p ^ -q

 

Contoh:

Tentukan pernyataan yang ekuivalen dengan:

1.     Tidak benar bahwa Tina anak yang rajin dan pandai

2.     Jika hari hujan,maka jalan-jalan basah

3.     Tidak benar bahwa Lusi tidak cantik

Jawab:                                                                         

1. Tina bukan anak yang rajin atau tina bukan anak yang pandai

2.  Hari tidak hujan atau jalan-jalan basah,

Jika jalan-jalan tidak basah, maka hari tidak hujan

3. Lusi cantik

F. NEGASI (INGKARAN) PERNYATAAN MAJEMUK

Negasi dari pernyataan konjungsi ekuivalen dengan disjungsi dari masing-masing konjungnya,dan sebaliknya negasi dari pernyataan disjungsi ekuivalen dengan konjungsi dari masing-masing disjungnya.Bentuk kesetaraan diatas disebut juga Dalil “De Morgan”Tabel kebenarannya sama dengan table ekuivalen yang sebelumnya.

Contoh : Saya sedang main sepak bola atau tenis

Jawab : Saya tidak main bola dan tidak tenis.

G.KONVERS,INVERS,DAN KONTRAPOSISI

Dari implikasi P => q, maka dapat ditentukan

·        Konvers               : q => p

·        Invers                  : -p => -q                  

·        Kontraposisi       : -q=> -p

p	q	-p	-q	P => q	q =>p	-p =>-q	-q =>-p
B B S S	B S B S	S S B B	S B S B	B S B B	B B S B	B B S B	B S B B

 

Contoh :

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan !

“jika saya rajin belajar, maka saya naik kelas

Jawab :

a.     Konvers : Jika saya naik kelas,maka saya rajin belajar

b.     Invers : Jika saya tidak rajin belajar, maka saya tidak naik kelas

c.      Kontraposisi : Jika saya tidak naik kelas, maka saya tidak belajar

H. PERNYATAAN BERKUANTOR

Kuantor adalah suatu lambing yang menunjukkan generalisasi suatu kalimat terbuka. Ada 2 macam kuantor, yaitu kuantor eksistensial dan kuantor universal.

1.     Kuantor universal/umum

Suatu pernyataan dalam logika matematika yang menggunakan kata “untuk semua” atau “setiap” yang dilambangkan dengan notasi “ɏ”.

“ɏ”x.p(x)”dibaca”Untuk semua x, yang mempunyai sifat p(x)”.

2.     Kuantor Eksistensial/khusus

Suatu pernyataan dalam logika matematika yang menggunakan kata “Terdapat”atau “Beberapa”atau “ada” dan dilambangkan dengan notasi”3”.

“3x,p(x)”dibaca”terdapat x,yang mempunyai sifat p(x)”.

3.              Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan Berkuantor

a.     Negasi dari suatu pernyataan kuantor universal merupakan pernyataan kuantor eksistensial.

  Ingkaran/negasi dari: “ɏ”x,p(x)” adalah “3x,-p(x)”

Ingkaran/negasi dari “semua x,p(x)” adalah:

(i)       Beberapa x, bukan p(x)

(ii)      Terdapat x, bukan p(x)

(iii)  Ada x, bukan p(x)

b.   Ingkaran/negasi dari suatu kuantor eksistensial (khusus) merupakan   pernyataan   kuantor unipersal atau umum.

Ingkaran/negasi dari “3x, p(x)” adalah “ɏ”x,-p(x)”

Ingkaraan/negasi dari “beberapa x, p(x)” adalah:

(i)    “semua x, bukan p(x)”

(ii)   “setiap x, bukan p(x)”

I.       PENARIKAN KESIMPULAN

-         Himpunan pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang ditentukan ( diketahui) disebut premis.

-         Kumpulan dari semua premis disebut argument

-         Pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang diturunkan dari premis-premis disebut kesimpuan (klonklusi).

-         Beberapa metode penarikan kesimpulan yang di anggap sah atau palid dalam matematika.

1.                                Modus ponen

a.      Premis 1: p→q                                     b.        premis 1 : p

Premis 2 : p                                                        Premis 2  :   p→q

                    Konklusi           : q                                                       Konklusi  : q

Contoh:

Premis 1           : Jika hari ini hujan maka saya membawa paying ( p→q)

Premis 2           : Hari ini hujan ( p )

Konklusi           : saya membawa paying (q)       

2.    Modus Tollens

Premis 1        : p→q

Premis 2        : -q

Koklusi           : -p

Contoh ;

Premis 1 : Jika saya sakit maka saya pergi ke dokter

Premis 2 : Saya tidak pergi ke dokter

Konklusi : Saya tidak sakit

3.  Modus silogisme

Prinsip : p => q (B)

               q=> r (B)

               p => r (B)

Contoh : Jika Agus naik kelas, maka Ibu senang.

                Jika Ibu senang, maka Agus diberi hadiah.

Kesimpulan : jika Agus naik kelas, maka ia diberi hadiah.

BUKTI DALAM MATEMATIKA

1.     BUKTI  LANGSUNG

Pembuktian dalam matematika yang telah dipelajari selama ini adalah dengan pembuktian langsung. Artinya adalah membuktikan kebenaran derngan memperlihatkan bahwa kebenaran ini adalah akibat pernyataan lain yang telah diterima sebagai hal yang benar ( definisi, aksioma,dan asumsi lain) dari dalil-dalil yang telah dibuktikan.

Contoh :

Buktikan bahwa a²+b²            =(a+b)²-2ab

Bukti :  a²+b²                                   = a²+ 2ab +b²-2ab             ( 2ab-2ab=0)

                                                   = (a + b )²-2ab                    (penguadratan)

Namun tidak zemua permasalahan dalam matematika dapat dibuktikan secara langsung.

2.    BUKTI TAK LANGSUNG

Untuk membuktikan suatu argument, dapat pula dengan bukti tak langsung, yaitu sebagai berikut:

a.     Bukti tak langsung dengan kontradiksi

Bukti tak langsung ini didasarkan atas implikasi p => q,bernilai benar dengan pengandaian bahwa –q benar harus dibuktikan bahwa p kontradiksi dengan –p.

b.     Bukti tak langsung dengan kontraposisi

Bukti tak langsung ini didasarkan atas kesehargaan /senilai antara implikasi p => q dengan kontraposisinya: -q => -p.

3.     INDUKSI MATEMATIKA

Yakni proses pembuktian pernyataan-pernyataan dari kasus-kasus khusus yang berlaku untuk setiap n bilangan asli.

a.     Menunjukan pernyataan benar untuk n=1, atau p(1) benar.

b.     Mengandaikan pernyataan untuk n=k, selanjutnya harus dibuktikan P(n) benar untuk n= k + 1.

c.      Dari hasil (a) dan (b),disimpulkan bahwa pernyataan benar untuk n= k + 1